(1) 整数係数の3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ が $x = \frac{l}{k}$ ( $k, l$ は互いに素な自然数) を解に持つとき、$k$ は $a$ の約数であり、$l$ は $d$ の約数であることを示す。 (2) 整数係数の3次方程式 $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ が正の有理数解を持つとする。$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ とおくとき、$f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ のいずれかは3の倍数であることを示す。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 整数係数の3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ が $x = \frac{l}{k}$ ( $k, l$ は互いに素な自然数) を解に持つとき、$k$ は $a$ の約数であり、$l$ は $d$ の約数であることを示す。

(2) 整数係数の3次方程式 $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ が正の有理数解を持つとする。$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ とおくとき、$f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ のいずれかは3の倍数であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$x = \frac{l}{k}$ が $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の解であるので、代入すると

$$a \left( \frac{l}{k} \right)^3 + b \left( \frac{l}{k} \right)^2 + c \left( \frac{l}{k} \right) + d = 0$$

両辺に $k^3$ をかけると

$$al^3 + bl^2k + clk^2 + dk^3 = 0$$

移項して

$$al^3 = -bl^2k - clk^2 - dk^3 = -(bl^2 + clk + dk^2)k$$

$l^3 = \frac{-(bl^2 + clk + dk^2)k}{a}$

したがって、$al^3$ は $k$ で割り切れる。$k$ と $l$ は互いに素なので、$a$ は $k$ で割り切れる。つまり、$k$ は $a$ の約数である。

同様に、$al^3 + bl^2k + clk^2 + dk^3 = 0$ を移項して

$$dk^3 = -al^3 - bl^2k - clk^2 = -(al^2 + blk + ck^2)l$$

$k^3 = \frac{-(al^2 + blk + ck^2)l}{d}$

したがって、$dk^3$ は $l$ で割り切れる。$k$ と $l$ は互いに素なので、$d$ は $l$ で割り切れる。つまり、$l$ は $d$ の約数である。

(2)

$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

$f(0) = d$

$f(1) = 1 + b + c + d$

$f(2) = 8 + 4b + 2c + d$

$f(0), f(1), f(2)$ を3で割った余りを考える。

$f(0) \equiv d \pmod{3}$

$f(1) \equiv 1 + b + c + d \pmod{3}$

$f(2) \equiv 2 + b - c + d \pmod{3}$ ( $4 \equiv 1, 2 \equiv -1$ より)

もし、$f(0), f(1), f(2)$ のいずれも3の倍数でないと仮定すると、$f(0), f(1), f(2)$ はそれぞれ3で割った余りが1または2となる。

ここで、$f(0) + f(1) + f(2) \equiv d + (1 + b + c + d) + (2 + b - c + d) \equiv 3 + 2b + 3d \equiv 2b \pmod{3}$ となる。

ここで、有理数の解を $\frac{p}{q}$ ( $p, q$ は互いに素な整数) とする。このとき $\frac{p}{q}$ は正の解であるので、$p>0, q>0$

$\frac{p^3}{q^3} + b\frac{p^2}{q^2} + c\frac{p}{q} + d = 0$

$p^3 + bp^2q + cpq^2 + dq^3 = 0$

$p^3 \equiv -bp^2q - cpq^2 - dq^3 \pmod{3}$

$f(p) = p^3 + bp^2 + cp + d$

正の有理数解を $\alpha$ とすると、$\alpha = \frac{p}{q}$ と表せる。ただし、$p, q$ は互いに素な正の整数とする。

$f(\alpha) = (\frac{p}{q})^3 + b (\frac{p}{q})^2 + c (\frac{p}{q}) + d = 0$

$p^3 + bp^2q + cpq^2 + dq^3 = 0$

ここで、$p$ と $q$ が互いに素であることから、$p \equiv 0 \pmod{3}$ または $p \not\equiv 0 \pmod{3}$ である。同様に、$q \equiv 0 \pmod{3}$ または $q \not\equiv 0 \pmod{3}$ である。

もし $f(0), f(1), f(2)$ がいずれも3の倍数でないとすると、$p, q \not\equiv 0 \pmod{3}$ となり、$p^3 + bp^2q + cpq^2 + dq^3 \not\equiv 0 \pmod{3}$ が得られる。

したがって、$f(0), f(1), f(2)$ のいずれかは3の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $k$ は $a$ の約数であり、$l$ は $d$ の約数である。

(2) $f(0), f(1), f(2)$ のいずれかは3の倍数である。