次の4つの関数を$x$で微分する問題です。 (1) $5\sin 7x + 2 \cos 2x$ (2) $3e^{5x}$ (3) $\sqrt{x^2 - 3}$ (4) $e^x (\sin ax - \cos bx)$

1. 問題の内容

次の4つの関数を$x$で微分する問題です。

(1) $5\sin 7x + 2 \cos 2x$

(2) $3e^{5x}$

(3) $\sqrt{x^2 - 3}$

(4) $e^x (\sin ax - \cos bx)$

2. 解き方の手順

(1) $5\sin 7x + 2 \cos 2x$ の微分

$\sin kx$ の微分は $k \cos kx$ であり、$\cos kx$ の微分は $-k \sin kx$ であることを利用します。

$\frac{d}{dx}(5\sin 7x + 2 \cos 2x) = 5 \cdot 7 \cos 7x + 2 \cdot (-2 \sin 2x) = 35 \cos 7x - 4 \sin 2x$

(2) $3e^{5x}$ の微分

$e^{kx}$ の微分は $ke^{kx}$ であることを利用します。

$\frac{d}{dx}(3e^{5x}) = 3 \cdot 5 e^{5x} = 15e^{5x}$

(3) $\sqrt{x^2 - 3}$ の微分

合成関数の微分を行います。$\sqrt{u}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ であり、$x^2-3$の微分は$2x$です。

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}$

(4) $e^x (\sin ax - \cos bx)$ の微分

積の微分法と三角関数の微分を利用します。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

$\frac{d}{dx}(e^x (\sin ax - \cos bx)) = e^x (\sin ax - \cos bx) + e^x (a \cos ax + b \sin bx) = e^x (\sin ax - \cos bx + a \cos ax + b \sin bx) = e^x [(1+b) \sin ax + (a-1) \cos bx]$

3. 最終的な答え

(1) $35 \cos 7x - 4 \sin 2x$

(2) $15e^{5x}$

(3) $\frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}$

(4) $e^x (\sin ax + b \sin bx + a \cos ax - \cos bx)$