与えられた関数 $(\sqrt{2x^3})'$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $(\sqrt{2x^3})'$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を指数表記に書き換えます。

$\sqrt{2x^3} = (2x^3)^{\frac{1}{2}}$

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を用います。

チェーンルールは、関数 $f(g(x))$ の微分が $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で与えられるというものです。

この場合、$f(u) = u^{\frac{1}{2}}$ であり、$g(x) = 2x^3$ です。

$f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$

$g'(x) = 6x^2$

したがって、与えられた関数の導関数は次のようになります。

$(\sqrt{2x^3})' = ((2x^3)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(2x^3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

この式を整理します。

$\frac{1}{2}(2x^3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2 = \frac{6x^2}{2\sqrt{2x^3}} = \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}$

さらに、分母を有理化します。

$\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}} = \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}} \cdot \frac{\sqrt{2x^3}}{\sqrt{2x^3}} = \frac{3x^2\sqrt{2x^3}}{2x^3} = \frac{3\sqrt{2x^3}}{2x}$

$\sqrt{x^2} = |x|$を考慮すると、$x > 0$である場合に

$\frac{3\sqrt{2x^3}}{2x} = \frac{3x\sqrt{2x}}{2x} = \frac{3\sqrt{2x}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2x}}{2}$