数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 10$ $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+2}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 10$

$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+2}$

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+2}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割る。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} + \frac{2^{n+2}}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^n$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^n$

$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{10}{3}$

$b_{n+1} - b_n = \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^n$

$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \frac{10}{3} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^k$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^k$ は初項 $\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$、公比 $\frac{2}{3}$、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^k = \frac{\frac{8}{9}(1-(\frac{2}{3})^{n-1})}{1-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{8}{9}(1-(\frac{2}{3})^{n-1})}{\frac{1}{3}} = \frac{8}{3}(1-(\frac{2}{3})^{n-1})$

よって、

$b_n = \frac{10}{3} + \frac{8}{3}(1-(\frac{2}{3})^{n-1}) = \frac{10}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}(\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3}(\frac{2}{3})^{n-1} = 6 - \frac{8}{3}(\frac{2}{3})^{n-1}$

したがって、$a_n = 3^n b_n = 3^n (6 - \frac{8}{3}(\frac{2}{3})^{n-1}) = 6 \cdot 3^n - 8 \cdot 3^{n-1} (\frac{2}{3})^{n-1} = 6 \cdot 3^n - 8 \cdot 2^{n-1} = 6 \cdot 3^n - 2^{n+2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = 6 \cdot 3^1 - 2^{1+2} = 18 - 8 = 10$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 6 \cdot 3^n - 2^{n+2}$