与えられた数式 $( \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を計算し、最も簡単な形にする。

1. 問題の内容

与えられた数式 $( \sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を計算し、最も簡単な形にする。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{3}-1)^2$と$(\sqrt{3}+1)^2$を計算する。

$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

与えられた式は

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})(4 - 2\sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{2})(4 + 2\sqrt{3})$

$= 4\sqrt{6} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$= 4\sqrt{6} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$= (4 - 2 + 4 - 2)\sqrt{6} + (-2 + 2)\sqrt{18} + (4 - 4)\sqrt{2}$

$= 4\sqrt{6} + 0\sqrt{18} + 0\sqrt{2}$

$= 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{6}$