(1) 直角三角形ABCにおいて、$AB = 3\sqrt{3}$、$AD = 3\sqrt{2}$、$∠ADC = 45^\circ$である。$AC$と$BC$の長さを求める。また、$sin\theta, cos\theta, tan\theta$の値を求める。 (2) $\theta$は鋭角で、$tan\theta = 3$のとき、$cos\theta, sin\theta, tan(180^\circ-\theta)$の値を求める。

はい、承知しました。問題文に書かれている問題のうち、図形に関する問題(1)と三角比の問題(2)を解きます。

1. 問題の内容

(1)

直角三角形ABCにおいて、$AB = 3\sqrt{3}$、$AD = 3\sqrt{2}$、$∠ADC = 45^\circ$である。$AC$と$BC$の長さを求める。また、$sin\theta, cos\theta, tan\theta$の値を求める。

(2)

$\theta$は鋭角で、$tan\theta = 3$のとき、$cos\theta, sin\theta, tan(180^\circ-\theta)$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直角三角形ADCに着目する。$∠ADC = 45^\circ$より、直角二等辺三角形なので、$AC = DC$である。

三平方の定理より、

$AD^2 = AC^2 + DC^2$

$AD^2 = 2AC^2$

$AC^2 = \frac{AD^2}{2} = \frac{(3\sqrt{2})^2}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$AC = \sqrt{9} = 3$

よって、$DC = 3$

$BC = BD + DC$であり、$BD = AB cos\theta$なので、BCを求めるには$cos\theta$が必要。

次に、$\triangle ABD$において、余弦定理を用いると、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB\cdot BD cos\theta$

$\triangle ABC$において、

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 + BC^2$

$27 = 9 + BC^2$

$BC^2 = 18$

$BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

次に、$sin\theta, cos\theta, tan\theta$を求める。

$sin\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tan\theta = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$tan\theta = 3$であるから、

$1 + tan^2\theta = \frac{1}{cos^2\theta}$

$1 + 3^2 = \frac{1}{cos^2\theta}$

$10 = \frac{1}{cos^2\theta}$

$cos^2\theta = \frac{1}{10}$

$cos\theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\theta$は鋭角なので、$cos\theta > 0$

$cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$sin\theta = tan\theta \cdot cos\theta = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$tan(180^\circ-\theta) = -tan\theta = -3$

3. 最終的な答え

(1)

$AC = 3$

$BC = 3\sqrt{2}$

$sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$tan(180^\circ-\theta) = -3$