正七角形ABCDEFGについて、次のものを求めます。 (1) 対角線の本数 (2) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の総数 (ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数 (イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

## 正七角形の問題

1. **問題の内容**

正七角形ABCDEFGについて、次のものを求めます。

(1) 対角線の本数

(2) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の総数

(ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

(イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

2. **解き方の手順**

(1) 対角線の本数

正 $n$ 角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。

正七角形の場合、$n=7$ なので、

$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$

(2) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の総数

正七角形の7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数が、三角形の総数となります。

これは $_7C_3$ で計算できます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

正七角形の各辺に対して、その両端の頂点を共有する三角形は1つずつ存在します。

したがって、正七角形と2辺を共有する三角形の個数は、正七角形の辺の数と同じで7個です。

(イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

三角形の総数から、正七角形と1辺または2辺を共有する三角形の個数を引けば、正七角形と辺を共有しない三角形の個数が求められます。

正七角形と1辺を共有する三角形は、その辺の両端の頂点以外の頂点を選ぶことになります。そのような頂点は7-4=3個存在します。正七角形は7辺あるので、7*3=21個と考えられますが、これは2辺を共有するものを含んで数えています。

正七角形と1辺を共有する三角形は、7本の辺それぞれに対して3個ずつありますが、2辺を共有する7個の三角形は2回数えられているので、重複をなくす必要があります。 1辺のみを共有する三角形の数は、正七角形と1辺を共有する三角形は7辺あるので、 7 * (3 -2) = 7

正七角形と辺を共有しない三角形の個数 = 総数 - 2辺共有 - 1辺共有

35 - 7 -7 = 21

3. **最終的な答え**

(1) 対角線の本数：14本

(2) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の総数：35個

(ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数：7個

(イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数：21個