一辺の長さが8の正方形ABCDに、それより小さい正方形EFGHが内接している。正方形EFGHの面積の最小値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが8の正方形ABCDに、それより小さい正方形EFGHが内接している。正方形EFGHの面積の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、AH = x と置く。すると、HD = 8 - x となる。

三角形AEH、三角形BFE、三角形CFG、三角形DHGは全て合同な直角三角形である。

したがって、EH = FG = GF = HEである。

三平方の定理より、$EH^2 = AH^2 + AE^2$ である。ここでAE = HD = 8 - x であるから、$EH^2 = x^2 + (8-x)^2$となる。

正方形EFGHの面積Sは、$S = EH^2 = x^2 + (8-x)^2 = x^2 + 64 - 16x + x^2 = 2x^2 - 16x + 64$となる。

面積Sを最小にするxを求めるために、Sをxで微分する。

$\frac{dS}{dx} = 4x - 16$

$\frac{dS}{dx} = 0$ となるのは、 $4x - 16 = 0$ より $x = 4$ のときである。

$x=4$のとき、$S = 2 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4 + 64 = 32 - 64 + 64 = 32$

xの範囲は $0 < x < 8$ である。$x=4$ はこの範囲に含まれる。

$x=0$ のとき、$S = 64$

$x=8$ のとき、$S = 64$

$x=4$ で最小となる。

3. 最終的な答え

32