問題は3つの部分に分かれています。 (1) 直角三角形ABCにおいて、AB = $3\sqrt{3}$、AD = $3\sqrt{2}$であるとき、AC, BCの長さを求め、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めよ。ただし、$\angle ADC = 45^\circ$とする。 (2) $\theta$は鋭角で、$\tan\theta = 3$のとき、$\cos\theta$, $\sin\theta$, $\tan(180^\circ - \theta)$の値を求めよ。 (3) 三角形ABCにおいて、以下のものを求めよ。 (1) $b = \sqrt{6}$, $A = 30^\circ$, $B = 135^\circ$のとき、$a$ (2) $a = 10$, $A = 60^\circ$のとき、外接円の半径$R$ (3) $a = \sqrt{3}$, $c = 3$, $B = 150^\circ$のとき、$b$

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

(1) 直角三角形ABCにおいて、AB = $3\sqrt{3}$、AD = $3\sqrt{2}$であるとき、AC, BCの長さを求め、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めよ。ただし、$\angle ADC = 45^\circ$とする。

(2) $\theta$は鋭角で、$\tan\theta = 3$のとき、$\cos\theta$, $\sin\theta$, $\tan(180^\circ - \theta)$の値を求めよ。

(3) 三角形ABCにおいて、以下のものを求めよ。

(1) $b = \sqrt{6}$, $A = 30^\circ$, $B = 135^\circ$のとき、$a$

(2) $a = 10$, $A = 60^\circ$のとき、外接円の半径$R$

(3) $a = \sqrt{3}$, $c = 3$, $B = 150^\circ$のとき、$b$

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形ADCは直角二等辺三角形なので、AC = AD = $3\sqrt{2}$。

次に、BC = BD + DCとなる。

BD = $\frac{AD}{\tan\theta}$ であり、$\tan\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。

よって、DC = AD = $3\sqrt{2}$.

$\angle ADB = 180 - 45 = 135$ 度

$\angle ABD = 180-135-\theta = 45-\theta$度

正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin(45 - \theta)} = \frac{AB}{\sin 45}$

$\sin(45 - \theta) = \frac{AD \sin 45}{AB} = \frac{3\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

余弦定理より、 $AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2*AD*BD\cos 45$

tan $\theta = AC/BC$

BC= $\frac{AC}{tan\theta} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$

$BC = 3\sqrt{3}$.

$\sin\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{3})^2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18+27}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{45}} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\cos\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\tan\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2)

$\tan\theta = 3$より、$\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta} = \frac{1}{1+9} = \frac{1}{10}$.

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ （$\theta$は鋭角なので正）。

$\sin\theta = \tan\theta \cos\theta = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta = -3$.

(3)

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. よって、$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{6} \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$.

(2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$. よって、$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{10}{2 \sin 60^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

(3) 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 \cos 150^\circ = 3 + 9 - 6\sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 12 + 9 = 21$.

よって、$b = \sqrt{21}$.

3. 最終的な答え

(1)

AC = $3\sqrt{2}$, BC = $3\sqrt{3}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $\cos\theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\tan\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2)

$\cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tan(180^\circ - \theta) = -3$

(3)

(1) $a = \sqrt{3}$

(2) $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

(3) $b = \sqrt{21}$