軸が $x=4$ であり、2点 $(2,-3)$ と $(-2,13)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

軸が $x=4$ であり、2点 $(2,-3)$ と $(-2,13)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

軸が $x=4$ であることから、求める2次関数は $y = a(x-4)^2 + q$ と表すことができます。

この放物線が2点 $(2,-3)$ と $(-2,13)$ を通ることから、これらの点を代入して$a$と$q$を求めます。

まず、点 $(2,-3)$ を代入すると、

$-3 = a(2-4)^2 + q$

$-3 = 4a + q$

次に、点 $(-2,13)$ を代入すると、

$13 = a(-2-4)^2 + q$

$13 = 36a + q$

2つの式を連立させて解きます。

$13 = 36a + q$

$-3 = 4a + q$

上の式から下の式を引くと、

$13 - (-3) = 36a - 4a + q - q$

$16 = 32a$

$a = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2}$ を $-3 = 4a + q$ に代入すると、

$-3 = 4 \times \frac{1}{2} + q$

$-3 = 2 + q$

$q = -5$

したがって、$a = \frac{1}{2}$, $q = -5$ となるので、求める2次関数は

$y = \frac{1}{2}(x-4)^2 - 5$

展開して整理すると、

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$