3つの実数が等比数列をなしており、それらの和が19、積が216である。これらの3つの数を求める問題。

1. 問題の内容

3つの実数が等比数列をなしており、それらの和が19、積が216である。これらの3つの数を求める問題。

2. 解き方の手順

3つの数を $a/r, a, ar$ とおく。ただし、$a$ は実数、$r$ は公比とする。

積が216であることから、

$$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = a^3 = 216$$

$a^3 = 216$ より、$a = \sqrt[3]{216} = 6$

和が19であることから、

$$\frac{a}{r} + a + ar = 19$$

$a = 6$ を代入して、

$$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$$

$$\frac{6}{r} + 6r = 13$$

両辺に $r$ を掛けて、

$$6 + 6r^2 = 13r$$

$$6r^2 - 13r + 6 = 0$$

この2次方程式を解く。

$$6r^2 - 13r + 6 = (2r - 3)(3r - 2) = 0$$

よって、$r = \frac{3}{2}$ または $r = \frac{2}{3}$

$r = \frac{3}{2}$ のとき、3つの数は $\frac{6}{3/2}, 6, 6 \cdot \frac{3}{2}$ より、$4, 6, 9$。

$r = \frac{2}{3}$ のとき、3つの数は $\frac{6}{2/3}, 6, 6 \cdot \frac{2}{3}$ より、$9, 6, 4$。

3. 最終的な答え

求める3つの数は 4, 6, 9。