与えられた数列の和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n} k(k+5)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+5)$

2. 解き方の手順

まず、総和の中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+5) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k)$

総和の性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ はそれぞれ公式を用いて計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $n(n+1)$ でくくります。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{5n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} [(2n+1) + 5 \cdot 3]$

$= \frac{n(n+1)}{6} (2n+1+15) = \frac{n(n+1)}{6} (2n+16)$

$= \frac{n(n+1)}{6} \cdot 2(n+8) = \frac{n(n+1)(n+8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+8)}{3}$