与えられた二次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、定義域が (1) $0 \le x \le 2$ および (2) $-2 \le x \le 1$ の場合における最大値と最小値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、定義域が (1) $0 \le x \le 2$ および (2) $-2 \le x \le 1$ の場合における最大値と最小値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x + 1)^2 + 1 + 1 = -(x + 1)^2 + 2$

この式から、この二次関数の頂点の座標が $(-1, 2)$ であることがわかる。また、$x^2$ の係数が負であることから、上に凸な放物線であることがわかる。

(1) $0 \le x \le 2$ の場合：

頂点の $x$ 座標 $x=-1$ は定義域に含まれていない。

$x = 0$ のとき、$y = -(0 + 1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = -(2 + 1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

したがって、この範囲における最大値は $1$ ($x = 0$ のとき)、最小値は $-7$ ($x = 2$ のとき)。

(2) $-2 \le x \le 1$ の場合：

頂点の $x$ 座標 $x=-1$ は定義域に含まれている。頂点における $y$ 座標は $2$。

$x = -2$ のとき、$y = -(-2 + 1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -(1 + 1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、この範囲における最大値は $2$ ($x = -1$ のとき)、最小値は $-2$ ($x = 1$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 2$ のとき：

最大値：$1$ ($x = 0$)

最小値：$-7$ ($x = 2$)

(2) $-2 \le x \le 1$ のとき：

最大値：$2$ ($x = -1$)

最小値：$-2$ ($x = 1$)