与えられた分数の和を計算する問題です。式は次の通りです。 $\frac{2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{2}{(a+3)(a+5)}$

1. 問題の内容

与えられた分数の和を計算する問題です。式は次の通りです。

$\frac{2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{2}{(a+3)(a+5)}$

2. 解き方の手順

それぞれの分数を部分分数分解します。

$\frac{2}{(a-1)(a+1)} = \frac{A}{a-1} + \frac{B}{a+1}$ とすると、$2 = A(a+1) + B(a-1)$となります。

$a=1$のとき、$2 = 2A$より$A=1$。

$a=-1$のとき、$2 = -2B$より$B=-1$。

したがって、$\frac{2}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1}$

同様に、$\frac{2}{(a+1)(a+3)} = \frac{C}{a+1} + \frac{D}{a+3}$ とすると、$2 = C(a+3) + D(a+1)$となります。

$a=-1$のとき、$2 = 2C$より$C=1$。

$a=-3$のとき、$2 = -2D$より$D=-1$。

したがって、$\frac{2}{(a+1)(a+3)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+3}$

同様に、$\frac{2}{(a+3)(a+5)} = \frac{E}{a+3} + \frac{F}{a+5}$ とすると、$2 = E(a+5) + F(a+3)$となります。

$a=-3$のとき、$2 = 2E$より$E=1$。

$a=-5$のとき、$2 = -2F$より$F=-1$。

したがって、$\frac{2}{(a+3)(a+5)} = \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+5}$

元の式に代入すると、

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+5} = \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+5}$

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+5} = \frac{(a+5) - (a-1)}{(a-1)(a+5)} = \frac{a+5-a+1}{(a-1)(a+5)} = \frac{6}{(a-1)(a+5)} = \frac{6}{a^2 + 4a - 5}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{(a-1)(a+5)}$

または

$\frac{6}{a^2 + 4a - 5}$