与えられた3x3行列の逆行列を求める問題です。 行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を求める問題です。

行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 \\

2 & 1 & 3 \\

1 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

3x3行列の逆行列を求める一般的な手順は以下の通りです。

(1) 行列式を計算する。

(2) 余因子行列を計算する。

(3) 余因子行列の転置行列（すなわち、随伴行列）を計算する。

(4) 行列式で随伴行列を割る（つまり、スカラー倍する）。

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 \\

2 & 1 & 3 \\

1 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

(1) 行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - 0 \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (1 + 3) - 0 + (-1) \cdot (-2 - 1) = 4 + 3 = 7$

したがって、 $|A| = 7$

(2) 余因子行列 C を計算します。

$C_{11} = (1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) = 4$

$C_{12} = -(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(-1) = 1$

$C_{13} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = -3$

$C_{21} = -(0 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = -(0 - 1) = 1$

$C_{22} = (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = 2$

$C_{23} = -(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = -(-1) = 1$

$C_{31} = (0 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) = 1$

$C_{32} = -(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) = -(3 + 2) = -5$

$C_{33} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = 1$

したがって、余因子行列は

$C = \begin{pmatrix}

4 & 1 & -3 \\

1 & 2 & 1 \\

1 & -5 & 1

\end{pmatrix}$

(3) 余因子行列の転置行列（随伴行列）を計算します。

$\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix}

4 & 1 & 1 \\

1 & 2 & -5 \\

-3 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix}

4 & 1 & 1 \\

1 & 2 & -5 \\

-3 & 1 & 1

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

4/7 & 1/7 & 1/7 \\

1/7 & 2/7 & -5/7 \\

-3/7 & 1/7 & 1/7

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix}

4/7 & 1/7 & 1/7 \\

1/7 & 2/7 & -5/7 \\

-3/7 & 1/7 & 1/7

\end{pmatrix}$