与えられた分数の分母を有理化し、簡約化する問題です。分数は $\frac{12}{\sqrt{5}-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、簡約化する問題です。分数は $\frac{12}{\sqrt{5}-1}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な式である $\sqrt{5}+1$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{12}{\sqrt{5}-1} = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$

次に、分母を計算します。 $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$ は $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ の形なので、

$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

したがって、

$\frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{4}$

次に、分子の $12$ と分母の $4$ を簡約化します。 $12 \div 4 = 3$ なので、

$\frac{12(\sqrt{5}+1)}{4} = 3(\sqrt{5}+1)$

最後に、分配法則を使って括弧を展開します。

$3(\sqrt{5}+1) = 3\sqrt{5} + 3$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{5} + 3$