与えられた関数の定義域における値域、最大値、最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2$、$-3 \le x \le 1$ (2) $y = -x^2$、$-2 \le x \le 0$ (3) $y = 3x^2$、 $2 \le x \le 3$ (4) $y = -\frac{1}{2}x^2$、 $-4 \le x \le -2$

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域における値域、最大値、最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2$、$-3 \le x \le 1$

(2) $y = -x^2$、$-2 \le x \le 0$

(3) $y = 3x^2$、 $2 \le x \le 3$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2$、 $-4 \le x \le -2$

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^2$ のグラフは下に凸の放物線です。

定義域 $-3 \le x \le 1$ を考慮すると、

$x = 0$ のとき最小値 $y = 0$ を取ります。

$x = -3$ のとき最大値 $y = (-3)^2 = 9$ を取ります。

$x=1$ のとき $y = 1^2 = 1$

(2)

$y = -x^2$ のグラフは上に凸の放物線です。

定義域 $-2 \le x \le 0$ を考慮すると、

$x = 0$ のとき最大値 $y = 0$ を取ります。

$x = -2$ のとき最小値 $y = -(-2)^2 = -4$ を取ります。

(3)

$y = 3x^2$ のグラフは下に凸の放物線です。

定義域 $2 \le x \le 3$ を考慮すると、

$x = 2$ のとき最小値 $y = 3(2)^2 = 12$ を取ります。

$x = 3$ のとき最大値 $y = 3(3)^2 = 27$ を取ります。

(4)

$y = -\frac{1}{2}x^2$ のグラフは上に凸の放物線です。

定義域 $-4 \le x \le -2$ を考慮すると、

$x = -2$ のとき最大値 $y = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -2$ を取ります。

$x = -4$ のとき最小値 $y = -\frac{1}{2}(-4)^2 = -8$ を取ります。

3. 最終的な答え

(1) 値域: $0 \le y \le 9$、最大値: 9 (x=-3)、最小値: 0 (x=0)

(2) 値域: $-4 \le y \le 0$、最大値: 0 (x=0)、最小値: -4 (x=-2)

(3) 値域: $12 \le y \le 27$、最大値: 27 (x=3)、最小値: 12 (x=2)

(4) 値域: $-8 \le y \le -2$、最大値: -2 (x=-2)、最小値: -8 (x=-4)