1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚のカードが入った箱がある。ただし、$n \geq 2$ である。 (1) この箱から同時に2枚取り出すとき、取り出したカードの番号の和が $n$ 以下となる確率を求めよ。 (2) この箱から1枚取り出し、それを箱に戻してから、もう一度1枚取り出すとき、取り出したカードの番号の和が $n$ 以下となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚のカードが入った箱がある。ただし、$n \geq 2$ である。

(1) この箱から同時に2枚取り出すとき、取り出したカードの番号の和が $n$ 以下となる確率を求めよ。

(2) この箱から1枚取り出し、それを箱に戻してから、もう一度1枚取り出すとき、取り出したカードの番号の和が $n$ 以下となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

箱から2枚のカードを同時に取り出す取り出し方は全部で $_nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ 通りである。

取り出した2枚のカードの番号を $i, j$ とする。ただし、$1 \leq i < j \leq n$ である。

$i + j \leq n$ となる組み合わせの数を求める。

$i$ を固定して $j$ の範囲を考えると、$j \leq n - i$ となる必要がある。

また、$j > i$ なので、$i < j \leq n - i$ である。

$j$ が存在する条件は $i < n - i$ なので、$2i < n$, つまり $i < \frac{n}{2}$ である。

$i$ が取りうる最大の整数を $k$ とすると、$k = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$ である。

$i=1$ のとき、$2 \leq j \leq n-1$ より、 $n-1-2+1 = n-2$ 通り。

$i=2$ のとき、$3 \leq j \leq n-2$ より、 $n-2-3+1 = n-4$ 通り。

$i=k$ のとき、$k+1 \leq j \leq n-k$ より、 $n-k-(k+1)+1 = n-2k$ 通り。

求める組み合わせの数は $\sum_{i=1}^{k} (n - 2i) = nk - 2\sum_{i=1}^{k} i = nk - 2 \frac{k(k+1)}{2} = nk - k(k+1) = k(n-k-1)$ である。

したがって、確率は

$\frac{k(n-k-1)}{n(n-1)/2} = \frac{2k(n-k-1)}{n(n-1)}$

ここで、$k = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$ である。

$n$ が偶数のとき、$n = 2m$ とすると、$k = \lfloor \frac{2m-1}{2} \rfloor = m-1$ なので、

$\frac{2(m-1)(2m-(m-1)-1)}{2m(2m-1)} = \frac{2(m-1)(m)}{2m(2m-1)} = \frac{m-1}{2m-1} = \frac{n/2 - 1}{n-1} = \frac{n-2}{2(n-1)}$

$n$ が奇数のとき、$n = 2m+1$ とすると、$k = \lfloor \frac{2m}{2} \rfloor = m$ なので、

$\frac{2m(2m+1-m-1)}{ (2m+1)(2m)} = \frac{2m^2}{(2m+1)(2m)} = \frac{m}{2m+1} = \frac{(n-1)/2}{n} = \frac{n-1}{2n}$

(2)

箱から1枚取り出し、戻してからもう一度取り出すので、取り出し方は全部で $n^2$ 通りである。

取り出した2枚のカードの番号を $i, j$ とする。ただし、$1 \leq i, j \leq n$ である。

$i + j \leq n$ となる組み合わせの数を求める。

$i$ を固定して $j$ の範囲を考えると、$j \leq n - i$ となる必要がある。

$i=1$ のとき、$j \leq n-1$ より、 $n-1$ 通り。

$i=2$ のとき、$j \leq n-2$ より、 $n-2$ 通り。

$i=n-1$ のとき、$j \leq 1$ より、 $1$ 通り。

$i=n$ のとき、$j \leq 0$ より、 $0$ 通り。

求める組み合わせの数は $\sum_{i=1}^{n-1} (n - i) = \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

したがって、確率は $\frac{(n-1)n/2}{n^2} = \frac{n-1}{2n}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n$が偶数のとき、$\frac{n-2}{2(n-1)}$

$n$が奇数のとき、$\frac{n-1}{2n}$

(2) $\frac{n-1}{2n}$