例題9において、同時に3個の球を取り出すとき、そこに含まれる白球の個数の期待値を求めよ。ただし、例題9の内容は不明。白球の数と全球の数が分からないため、一般化して解く。全球の数をN、白球の数をWとする。

1. 問題の内容

例題9において、同時に3個の球を取り出すとき、そこに含まれる白球の個数の期待値を求めよ。ただし、例題9の内容は不明。白球の数と全球の数が分からないため、一般化して解く。全球の数をN、白球の数をWとする。

2. 解き方の手順

まず、3個の球を取り出す組み合わせの総数を求める。これは、${}_N C_3$ で表される。

次に、取り出した3個の球の中に白球が0個、1個、2個、3個含まれる確率をそれぞれ計算する。

* 白球が0個の場合：$\frac{{}_{N-W}C_3}{{}_N C_3}$

* 白球が1個の場合：$\frac{{}_W C_1 \cdot {}_{N-W}C_2}{{}_N C_3}$

* 白球が2個の場合：$\frac{{}_W C_2 \cdot {}_{N-W}C_1}{{}_N C_3}$

* 白球が3個の場合：$\frac{{}_W C_3}{{}_N C_3}$

期待値は、各場合の白球の個数とその確率を掛け合わせて足し合わせたものである。したがって、期待値Eは次のように計算される。

$E = 0 \cdot \frac{{}_{N-W}C_3}{{}_N C_3} + 1 \cdot \frac{{}_W C_1 \cdot {}_{N-W}C_2}{{}_N C_3} + 2 \cdot \frac{{}_W C_2 \cdot {}_{N-W}C_1}{{}_N C_3} + 3 \cdot \frac{{}_W C_3}{{}_N C_3}$

この式を整理すると、

$E = \frac{{}_W C_1 \cdot {}_{N-W}C_2 + 2 \cdot {}_W C_2 \cdot {}_{N-W}C_1 + 3 \cdot {}_W C_3}{{}_N C_3}$

ここで、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて書き換えると、

$E = \frac{W \frac{(N-W)(N-W-1)}{2} + 2 \frac{W(W-1)}{2}(N-W) + 3 \frac{W(W-1)(W-2)}{6}}{\frac{N(N-1)(N-2)}{6}}$

$E = \frac{3W(N-W)(N-W-1) + 6W(W-1)(N-W) + 3W(W-1)(W-2)}{N(N-1)(N-2)}$

$E= \frac{3W(N-1)(N-2)}{N(N-1)(N-2)} = \frac{3W}{N}$

3. 最終的な答え

白球の個数の期待値は $\frac{3W}{N}$ 。例題9の条件が分かれば、WとNに具体的な数値を代入することで答えが得られる。