例題9において、同時に3個の球を取り出すとき、そこに含まれる白球の個数の期待値を求めよ。 ただし、例題9の内容は、袋の中に白球5個、赤球3個が入っているというものです。

1. 問題の内容

例題9において、同時に3個の球を取り出すとき、そこに含まれる白球の個数の期待値を求めよ。

ただし、例題9の内容は、袋の中に白球5個、赤球3個が入っているというものです。

2. 解き方の手順

白球の個数を確率変数 $X$ とする。$X$ は $0, 1, 2, 3$ のいずれかの値を取る。それぞれの確率を計算する。

* $X=0$ のとき (赤球が3個)

$P(X=0) = \frac{{}_3C_3}{{}_8C_3} = \frac{1}{56}$

* $X=1$ のとき (白球1個、赤球2個)

$P(X=1) = \frac{{}_5C_1 \cdot {}_3C_2}{{}_8C_3} = \frac{5 \cdot 3}{56} = \frac{15}{56}$

* $X=2$ のとき (白球2個、赤球1個)

$P(X=2) = \frac{{}_5C_2 \cdot {}_3C_1}{{}_8C_3} = \frac{10 \cdot 3}{56} = \frac{30}{56}$

* $X=3$ のとき (白球3個)

$P(X=3) = \frac{{}_5C_3}{{}_8C_3} = \frac{10}{56}$

期待値 $E(X)$ は、以下の式で求められる。

$E(X) = \sum_{i=0}^{3} i \cdot P(X=i)$

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{56} + 1 \cdot \frac{15}{56} + 2 \cdot \frac{30}{56} + 3 \cdot \frac{10}{56} = \frac{15 + 60 + 30}{56} = \frac{105}{56} = \frac{15}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{8}$