袋の中に白球2個と赤球3個が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出された球に含まれる白球の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白球2個と赤球3個が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出された球に含まれる白球の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

白球の個数を確率変数 $X$ とする。$X$ は0, 1, 2のいずれかの値をとる。それぞれの確率を計算し、期待値を計算する。

- $X=0$ (白球が0個、つまり赤球が3個)となる確率:

$P(X=0) = \frac{{}_{3}C_{3}}{{}_{5}C_{3}} = \frac{1}{10}$

- $X=1$ (白球が1個、赤球が2個)となる確率:

$P(X=1) = \frac{{}_{2}C_{1} \cdot {}_{3}C_{2}}{{}_{5}C_{3}} = \frac{2 \cdot 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

- $X=2$ (白球が2個、赤球が1個)となる確率:

$P(X=2) = \frac{{}_{2}C_{2} \cdot {}_{3}C_{1}}{{}_{5}C_{3}} = \frac{1 \cdot 3}{10} = \frac{3}{10}$

期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2)$

$= 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10}$

$= 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10}$

$= \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{5}$ 個