xy平面上に置かれた駒を、サイコロを振って次のルールで動かす。 * 目の数が1,2,3なら(x, y-1)に移動 * 目の数が4,5なら(x+1, y-1)に移動 * 目の数が6なら(x+1, y)に移動 サイコロの各目の確率は1/6とする。 駒を(0, 2)からスタートし、サイコロを5回振る。 (1)5回後に(3, 0)に到達する確率を求める。 (2)5回後に初めてx軸に到達する確率を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に置かれた駒を、サイコロを振って次のルールで動かす。

* 目の数が1,2,3なら(x, y-1)に移動

* 目の数が4,5なら(x+1, y-1)に移動

* 目の数が6なら(x+1, y)に移動

サイコロの各目の確率は1/6とする。

駒を(0, 2)からスタートし、サイコロを5回振る。

(1)5回後に(3, 0)に到達する確率を求める。

(2)5回後に初めてx軸に到達する確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)5回後に(3, 0)に到達する確率

(0, 2)から(3, 0)に5回の移動で到達する必要がある。

以下のように各移動を定義する。

* A: (x, y-1)　(確率1/2)

* B: (x+1, y-1) (確率1/3)

* C: (x+1, y) (確率1/6)

5回の移動で、x方向に3, y方向に-2移動する必要がある。

Bをb回、Cをc回使うと、x方向の移動はb+c=3となる。

y方向の移動は-b回であり、Aをa回使うと、a+b=2となる。

a+b = 2より、a = 2 - b。

b + c = 3より、c = 3 - b。

a, b, cはすべて非負の整数である必要がある。

よって、bは0, 1, 2, 3を超えない。

また、aは0, 1, 2のみ可能で、cは0, 1, 2, 3のみ可能である。

* b = 0のとき、a = 2, c = 3。このとき、確率は$\frac{5!}{2!0!3!} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{3})^0 (\frac{1}{6})^3 = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{216} = \frac{10}{864}$

* b = 1のとき、a = 1, c = 2。このとき、確率は$\frac{5!}{1!1!2!} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{1}{6})^2 = 60 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{36} = \frac{60}{216} = \frac{20}{864} * 4 = \frac{60}{216}$

* b = 2のとき、a = 0, c = 1。このとき、確率は$\frac{5!}{0!2!1!} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{6})^1 = 60 \cdot 1\cdot\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{60}{54*6} = \frac{10}{864} * 60 = \frac{30}{54}= \frac{10}{216}$

よって、確率は$\frac{5!}{2!1!2!} \times (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{1}{6})^2$

* b = 2のとき、a = 0, c = 1。確率は$\frac{5!}{0!2!1!} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{6})^1 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1} \cdot 1 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6} = 10 \times \frac{12}{1} \cdot \frac{1}{54} = 10\frac{1}{270} = \frac{10}{216}=\frac{10}{216}=\frac{10}{6*36}=\frac{10}{360+6*4}$

* b = 3のとき、y方向へ-3, つまりAが-2にならないため不可能

以上より、$\frac{10 + 60 + 10}{864} = \frac{80}{864} = \frac{5}{54}$

(2)5回後に初めてx軸に到達する確率

初めてx軸に到達するということは、(x, 0)に到達することである。

これは、y座標が2から0に変化することを意味する。

(0, 2)からスタートして、一度もx軸に到達せずに5回後に初めてx軸に到達する経路を考える。

5回の移動で、y方向に-2移動する必要がある。

y座標は0, 1, 2を取るので、(x, 1)を経由して(x', 0)になる必要がある。

A, Bで移動していく。Cではy座標が変化しないので、ここでは無視できる。

まず、5回の移動で初めて(x, 0)に到達する確率は、5回のサイコロ投げで、y座標が初めて0になる確率を求めることと等しい。

2回の移動で(0, 0)になるのは、AAとなる。確率は$(1/2)^2 = 1/4$

ただしこれは初めてではない。

まずy=1になる必要があるので、一回はAかBを使う必要がある。

1回目にA, 2回目にA。確率は$1/4$

1回目にB, 2回目にどうやってもx軸にはたどり着けない

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{54}$

(2) $\frac{1}{4}$