正の偶数の列を、第 $n$ 群に $(2n-1)$ 個の数が入るように群に分ける。第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

正の偶数の列を、第 $n$ 群に $(2n-1)$ 個の数が入るように群に分ける。第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、第 $n$ 群に入る数の個数の合計を考える。第1群から第$(n-1)$群までに入る数の個数の合計は、

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\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)

$$$$

と表せる。

この和を計算すると、

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\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = (n-1)n - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2

$$$$

となる。

したがって、第$n$群の最初の数は、正の偶数列の中で$(n-1)^2 + 1$番目の数となる。

正の偶数列の$m$番目の数は、$2m$であるから、第$n$群の最初の数は、

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2((n-1)^2 + 1) = 2(n^2 - 2n + 1 + 1) = 2(n^2 - 2n + 2) = 2n^2 - 4n + 4

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となる。

3. 最終的な答え

第 $n$ 群の最初の数は、$2n^2 - 4n + 4$ である。