初項 $a_1 = 1$ であり、$5^{n+1}a_{n+1} - 5^{n+1}a_n - 4 = 0$ ($n = 1, 2, 3, ...$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$ であり、$5^{n+1}a_{n+1} - 5^{n+1}a_n - 4 = 0$ ($n = 1, 2, 3, ...$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を整理します。

$5^{n+1}a_{n+1} - 5^{n+1}a_n - 4 = 0$

$5^{n+1}a_{n+1} = 5^{n+1}a_n + 4$

両辺を $5^{n+1}$ で割ると、

$a_{n+1} = a_n + \frac{4}{5^{n+1}}$

この漸化式は、$a_{n+1} - a_n = \frac{4}{5^{n+1}}$ と変形できます。

これは階差数列を表しているので、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{4}{5^{k+1}}$

$a_n = 1 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{5^{k+1}}$

$a_n = 1 + \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{5^k}$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{5^k}$ は初項 $\frac{1}{5}$、公比 $\frac{1}{5}$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{5^k} = \frac{\frac{1}{5}(1 - (\frac{1}{5})^{n-1})}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}(1 - (\frac{1}{5})^{n-1})}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{5})^{n-1})$

したがって、

$a_n = 1 + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} (1 - (\frac{1}{5})^{n-1}) = 1 + \frac{1}{5} (1 - (\frac{1}{5})^{n-1})$

$a_n = 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5^n} = \frac{6}{5} - \frac{1}{5^n}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{6}{5} - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$ となり、初項の条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{6}{5} - \frac{1}{5^n}$