与えられた不等式 $\sqrt{3}x - 1 > 2(x - 1)$ を解いて、$x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt{3}x - 1 > 2(x - 1)$ を解いて、$x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開します。

$\sqrt{3}x - 1 > 2x - 2$

次に、$x$を含む項を左辺に、定数項を右辺に移動します。

$\sqrt{3}x - 2x > -2 + 1$

$(\sqrt{3} - 2)x > -1$

両辺を $(\sqrt{3} - 2)$ で割ります。ただし、$\sqrt{3} - 2$ は負の数なので、不等号の向きが変わります。

$x < \frac{-1}{\sqrt{3} - 2}$

分母を有理化するために、分母と分子に $(\sqrt{3} + 2)$ を掛けます。

$x < \frac{-1(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)}$

$x < \frac{-\sqrt{3} - 2}{3 - 4}$

$x < \frac{-\sqrt{3} - 2}{-1}$

$x < \sqrt{3} + 2$

3. 最終的な答え

$x < 2 + \sqrt{3}$