(1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $(\alpha - \beta)^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$

## 問題の解答

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1. 問題の内容

1. 2次方程式 $2x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $(\alpha - \beta)^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

2. (5) 和が3、積が8になる2数を求めます。

3. (6) $-2+5i, -2-5i$を解にもつ2次方程式を1つつくります。

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2. 解き方の手順

1. 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を$\alpha, \beta$とすると、解と係数の関係より、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

これを利用して(1)と(2)を求めます。

(3) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ を利用して求めます。

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ を利用して求めます。

2. (5) 求める2数を $x, y$ とすると、$x+y=3, xy=8$ です。これらの方程式を解きます。$y=3-x$なので、$x(3-x)=8$となり、$x^2-3x+8=0$を解きます。

3. (6) 解が$\alpha, \beta$である2次方程式は$k(x-\alpha)(x-\beta)=0$と表せます。ここで、$k$は0でない任意の実数です。今回は、$k=1$として2次方程式を求めます。

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3. 最終的な答え

1. (1) $\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$

2. (2) $\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

3. (3) $(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{3}{2})^2 - 4(2) = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9 - 32}{4} = -\frac{23}{4}$

4. (4) $\alpha^3 + \beta^3 = (-\frac{3}{2})^3 - 3(2)(-\frac{3}{2}) = -\frac{27}{8} + 9 = \frac{-27 + 72}{8} = \frac{45}{8}$

5. (5) $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{23}}{2}$

よって、求める2数は$\frac{3 + i\sqrt{23}}{2}$と$\frac{3 - i\sqrt{23}}{2}$

6. (6) $\{x - (-2+5i)\}\{x - (-2-5i)\} = (x+2-5i)(x+2+5i) = (x+2)^2 - (5i)^2 = x^2 + 4x + 4 - (-25) = x^2 + 4x + 29 = 0$

よって、求める2次方程式は$x^2 + 4x + 29 = 0$