問題は、$x^2 + 2y^2 = 1$のとき、$x^2 + 4y$の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$x^2 + 2y^2 = 1$のとき、$x^2 + 4y$の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 = 1 - 2y^2$です。これを$x^2 + 4y$に代入すると、

$x^2 + 4y = (1 - 2y^2) + 4y = -2y^2 + 4y + 1$

となります。これを$f(y)$とおくと、$f(y) = -2y^2 + 4y + 1 = -2(y^2 - 2y) + 1 = -2(y^2 - 2y + 1 - 1) + 1 = -2(y - 1)^2 + 2 + 1 = -2(y - 1)^2 + 3$となります。

ここで、$x^2 = 1 - 2y^2$より、$x^2 \ge 0$なので、$1 - 2y^2 \ge 0$となります。したがって、$2y^2 \le 1$より、$y^2 \le \frac{1}{2}$、つまり$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le y \le \frac{1}{\sqrt{2}}$となります。

$y$の範囲$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le y \le \frac{1}{\sqrt{2}}$において、$f(y) = -2(y - 1)^2 + 3$の最大値と最小値を求めます。

$y = 1$は$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le y \le \frac{1}{\sqrt{2}}$に含まれないので、$y = 1$のときの$f(y) = 3$は最大値ではありません。

$f(y)$は上に凸な放物線なので、最大値は$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$のときに、$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2(-\frac{1}{\sqrt{2}} - 1)^2 + 3 = -2(\frac{1}{2} + \sqrt{2} + 1) + 3 = -1 - 2\sqrt{2} - 2 + 3 = -2\sqrt{2}$となります。

最小値は$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$のときに、$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1)^2 + 3 = -2(\frac{1}{2} - \sqrt{2} + 1) + 3 = -1 + 2\sqrt{2} - 2 + 3 = 2\sqrt{2}$となります。

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{2}$

最小値: $-2\sqrt{2}$