与えられた二次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ について、以下の問題を解きます。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が 8 であるとき、$a$ の値を求め、そのときの $f(x)$ の最大値を求めます。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > 1$ を満たす定数 $t$ に対し、$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ を $t$ を用いて表し、また $M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ について、以下の問題を解きます。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が 8 であるとき、$a$ の値を求め、そのときの $f(x)$ の最大値を求めます。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > 1$ を満たす定数 $t$ に対し、$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ を $t$ を用いて表し、また $M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成を行う。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a = (x - 2)^2 + a^2 - a - 4$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ となります。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x=2$ であり、$0 \le x \le 3$ の範囲に含まれます。

したがって、最小値は頂点の $y$ 座標であり、$a^2 - a - 4 = 8$ となります。

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a = 4, -3$

$a > 0$ より、$a = 4$ です。

$a = 4$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 16 - 4 = x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8$

$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

軸 $x = 2$ から最も遠い $x = 0$ において最大値をとります。

$f(0) = 0^2 - 4(0) + 12 = 12$

$f(3) = 3^2 - 4(3) + 12 = 9 - 12 + 12 = 9$

よって最大値は 12 です。

(3) $a = 4$ のとき、$f(x) = (x - 2)^2 + 8$ です。

$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値 $M$ を求めます。

$t > 1$ であることに注意してください。

場合分けを行います。

(i) $t+3 \le 2$ すなわち $t \le -1$ のとき。これは、$t>1$ に矛盾するため考えない。

(ii) $t \le 2 \le t+3$ すなわち $-1 \le t \le 2$ のとき。 $f(x)$ は $x = t$ で最大値をとる。 $t>1$ より、$1 < t \le 2$。 $M=f(t) = (t-2)^2 + 8$.

(iii) $2 \le t$ のとき、$f(x)$ は $x = t+3$ で最大値をとる。 $M = f(t+3) = (t+3-2)^2 + 8 = (t+1)^2 + 8$.

よって、$M = \begin{cases} (t - 2)^2 + 8 & (1 < t \le 2) \\ (t + 1)^2 + 8 & (2 \le t) \end{cases}$

$M - m = 3$ となる $t$ の値を求めます。

(i) $1 < t \le 2$ のとき、$M = (t - 2)^2 + 8$, $m = 8$ なので $M - m = (t - 2)^2 = 3$

$t - 2 = \pm \sqrt{3}$

$t = 2 \pm \sqrt{3}$

$1 < t \le 2$ より、$t = 2 - \sqrt{3}$

(ii) $2 \le t$ のとき、$M = (t + 1)^2 + 8$, $m = 8$ なので $M - m = (t+1)^2 = 3$

$t + 1 = \pm \sqrt{3}$

$t = -1 \pm \sqrt{3}$

$2 \le t$ より、$t = -1 + \sqrt{3}$.　これは $2 \le t$ を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$, 最大値: 12

(3) $M = \begin{cases} (t - 2)^2 + 8 & (1 < t \le 2) \\ (t + 1)^2 + 8 & (2 \le t) \end{cases}$, $t = 2 - \sqrt{3}$