与えられた画像には、置換の計算、置換の互換による表現、4次の置換に関する問題、行列式の計算、行列式の因数分解、連立1次方程式をクラメルの公式で解く問題が含まれています。ここでは、問題4の(1)と問題6の(1)を解きます。 問題4(1): 行列式 $\begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}$ を計算します。 問題6(1): 連立1次方程式 $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ をクラメルの公式を用いて解きます。

1. 問題の内容

与えられた画像には、置換の計算、置換の互換による表現、4次の置換に関する問題、行列式の計算、行列式の因数分解、連立1次方程式をクラメルの公式で解く問題が含まれています。ここでは、問題4の(1)と問題6の(1)を解きます。

問題4(1): 行列式 $\begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}$ を計算します。

問題6(1): 連立1次方程式 $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ をクラメルの公式を用いて解きます。

2. 解き方の手順

問題4(1): 2x2行列の行列式を計算します。行列式は $(ad - bc)$ で計算できます。ここで、a=7, b=-5, c=-2, d=1です。

問題6(1): クラメルの公式を用いて連立一次方程式を解きます。

まず、係数行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -7 \end{pmatrix}$ の行列式 $\det(A)$ を計算します。 $\det(A) = (1 \times -7) - (-3 \times 2) = -7 + 6 = -1$

次に、$x_1$を求めるために、係数行列Aの第1列を右辺のベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ で置き換えた行列の行列式 $\det(A_1)$ を計算します。

$A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$

$\det(A_1) = (2 \times -7) - (-3 \times 1) = -14 + 3 = -11$

$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-11}{-1} = 11$

同様に、$x_2$を求めるために、係数行列Aの第2列を右辺のベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ で置き換えた行列の行列式 $\det(A_2)$ を計算します。

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A_2) = (1 \times 1) - (2 \times 2) = 1 - 4 = -3$

$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-3}{-1} = 3$

3. 最終的な答え

問題4(1):

$\begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (7 \times 1) - (-5 \times -2) = 7 - 10 = -3$

問題6(1):

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \end{pmatrix}$