与えられた集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \rightarrow Y$ に対して、その写像が全射か単射かを判定し、理由を述べる。もし全単射であれば、逆写像を求める。

1. 問題の内容

与えられた集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \rightarrow Y$ に対して、その写像が全射か単射かを判定し、理由を述べる。もし全単射であれば、逆写像を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$

* 単射性: $f(x_1) = f(x_2)$ と仮定すると、$e^{2x_1-3} = e^{2x_2-3}$. 指数関数は単射なので、$2x_1 - 3 = 2x_2 - 3$, よって $x_1 = x_2$. したがって、$f$ は単射。

* 全射性: 任意の $y \in (0, \infty)$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在するかを調べる。$e^{2x-3} = y$ を解くと、$2x - 3 = \ln y$, $2x = \ln y + 3$, $x = \frac{\ln y + 3}{2}$. $x$ は実数なので、全射である。

* 全単射なので逆写像が存在する。$y = e^{2x-3}$ より、$x = \frac{\ln y + 3}{2}$. よって、逆写像は $f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$.

(2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$

* 単射性: $f(x_1) = f(x_2)$ と仮定すると、$\frac{1}{x_1-a} + c = \frac{1}{x_2-a} + c$. $\frac{1}{x_1-a} = \frac{1}{x_2-a}$より、$x_1 - a = x_2 - a$, よって $x_1 = x_2$. したがって、$f$ は単射。

* 全射性: 任意の $y \in \mathbb{R} \setminus \{c\}$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R} \setminus \{a\}$ が存在するかを調べる。$\frac{1}{x-a} + c = y$ を解くと、$\frac{1}{x-a} = y - c$, $x - a = \frac{1}{y-c}$, $x = \frac{1}{y-c} + a$. $y \neq c$ より、$x$ は定義できる。また、$x=a$ となると $\frac{1}{y-c} = 0$ となり矛盾するので、$x\neq a$。したがって、$f$ は全射。

* 全単射なので逆写像が存在する。 $y = \frac{1}{x-a} + c$ より、$x = \frac{1}{y-c} + a$. よって、逆写像は $f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$.

(3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$

* 単射性: $f(1) = 1^2 + 2 = 3$ であり、$f(-1) = (-1)^2 + 2 = 3$ なので、$f(1) = f(-1)$ だが $1 \neq -1$ なので、$f$ は単射ではない。

* 全射性: 任意の $y \in [2, \infty)$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在するかを調べる。$x^2 + 2 = y$ を解くと、$x^2 = y - 2$. $y \geq 2$ より $x = \pm \sqrt{y-2}$. よって、$f$ は全射である。

(4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$

* $f(x) = |2|x|-1|$. これは $f(x) = |2x-1|$ ではない。$f(x) = |2|x|-1|$とすると、

* $f(x) = |2|x|-1| = |2|x|-1| = |2|x|-1|$

* $f(0) = |2(0)-1| = |-1| = 1$

* $f(1) = |2(1)-1| = |1| = 1$

* $f(-1) = |2(-1)-1| = |-3| = 3$, which is not within $Y=[0,1]$.

したがって、$f(x) = |2|x|-1|$ ではない。

もし、$f(x) = |2x-1|$ であれば、

* 単射性: $f(-1) = |2(-1)-1| = |-3| = 3$, which is not within $Y=[0,1]$.

したがって、$f(x)$ は $X$ から $Y$ への写像ではないので、単射性も全射性も考える必要がない。

もし、$f(x) = |2x|-1$ とすると、

* $f(-1) = |2(-1)|-1 = 2-1=1$

* $f(1) = |2(1)|-1 = 2-1 = 1$

$f(1) = f(-1)$ だが、$1 \neq -1$ なので、$f$ は単射ではない。

$f(0) = |2\cdot 0|-1 = -1$

しかし、$Y = [0,1]$ なので、$Y$ の要素に一致しないので、全射ではない。

もし、$f(x) = 2|x|-1$ であれば、

* $X = [-1,1], Y=[-1,1]$

* $f(0) = 2\cdot 0 -1 = -1$

$Y = [0,1]$ であれば、全射ではない。

この関数の定義域は $0 \le 2|x| \le 2$ なので、$-1 \le 2|x|-1 \le 1$ なので、Yが$[0,1]$であれば、全射ではない。

例えば$f(x) = 0$のとき、$2|x|-1 = 0$より$|x| = 1/2$。$f(x) = 1$のとき、$2|x|-1 = 1$より$|x| = 1$。

(5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$

* 単射性: $f(1, 0) = 1 + 0 = 1$ であり、$f(0, 1) = 0 + 1 = 1$ なので、$f(1, 0) = f(0, 1)$ だが $(1, 0) \neq (0, 1)$ なので、$f$ は単射ではない。

* 全射性: 任意の $y \in \mathbb{R}$ に対して、$f(x, 0) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在するかを調べる。$x + 0 = y$ より $x = y$. よって、$f(y, 0) = y$ であり、$f$ は全射である。

(6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$

* 単射性: $f(1, 0) = 1^2 + 0^2 = 1$ であり、$f(0, 1) = 0^2 + 1^2 = 1$ なので、$f(1, 0) = f(0, 1)$ だが $(1, 0) \neq (0, 1)$ なので、$f$ は単射ではない。

* 全射性: 任意の $y \in [0, \infty)$ に対して、$f(x, 0) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在するかを調べる。$x^2 + 0^2 = y$ より $x = \pm \sqrt{y}$. よって、$f$ は全射である。

(7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$

* 単射性: $f(x_1,y_1) = f(x_2, y_2)$ つまり $(-x_1, -y_1) = (-x_2, -y_2)$。よって、$x_1 = x_2, y_1 = y_2$ となり、$(x_1,y_1) = (x_2, y_2)$。したがって、$f$ は単射。

* 全射性: 任意の $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ に対して、$f(x, y) = (u,v)$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ が存在するかを調べる。$(-x, -y) = (u, v)$ を解くと、$x = -u, y = -v$。よって、任意の $(u, v)$ に対して $(x, y) = (-u, -v)$ が存在する。したがって、$f$ は全射。

* 全単射なので、逆写像が存在する。$(-x, -y) = (u, v)$ より、$(x, y) = (-u, -v)$ なので、$f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$.

(8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

* 単射性: $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ つまり $(-y_1, x_1) = (-y_2, x_2)$。よって、$y_1 = y_2, x_1 = x_2$ となり、$(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$。したがって、$f$ は単射。

* 全射性: 任意の $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ に対して、$f(x, y) = (u,v)$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ が存在するかを調べる。$(-y, x) = (u, v)$ を解くと、$x = v, y = -u$。よって、任意の $(u, v)$ に対して $(x, y) = (v, -u)$ が存在する。したがって、$f$ は全射。

* 全単射なので、逆写像が存在する。$(-y, x) = (u, v)$ より、$(x, y) = (v, -u)$ なので、$f^{-1}(u, v) = (v, -u)$.

3. 最終的な答え

(1) 全単射。逆写像: $f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$

(2) 全単射。逆写像: $f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$

(3) 全射だが単射ではない。

(4) 問題文に曖昧な箇所があるため、解答不能。

(5) 全射だが単射ではない。

(6) 全射だが単射ではない。

(7) 全単射。逆写像: $f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$

(8) 全単射。逆写像: $f^{-1}(u, v) = (v, -u)$