2次関数 $y = x^2 + 2px + 3p^2 - 4p - 6$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $p$ の範囲を求める。 (2) グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが4となるような $p$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2px + 3p^2 - 4p - 6$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $p$ の範囲を求める。

(2) グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが4となるような $p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、2次方程式 $x^2 + 2px + 3p^2 - 4p - 6 = 0$ の判別式 $D$ が $D > 0$ となることです。判別式 $D$ を計算します。

$D = (2p)^2 - 4(1)(3p^2 - 4p - 6) = 4p^2 - 12p^2 + 16p + 24 = -8p^2 + 16p + 24$

$D > 0$ となる条件は、

$-8p^2 + 16p + 24 > 0$

$p^2 - 2p - 3 < 0$

$(p-3)(p+1) < 0$

したがって、$-1 < p < 3$ となります。

(2) グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが4であるとき、2次方程式 $x^2 + 2px + 3p^2 - 4p - 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、$|\alpha - \beta| = 4$ となります。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2p$

$\alpha \beta = 3p^2 - 4p - 6$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-2p)^2 - 4(3p^2 - 4p - 6) = 4p^2 - 12p^2 + 16p + 24 = -8p^2 + 16p + 24$

$|\alpha - \beta| = 4$ より、$(\alpha - \beta)^2 = 16$

$-8p^2 + 16p + 24 = 16$

$-8p^2 + 16p + 8 = 0$

$p^2 - 2p - 1 = 0$

$p = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

(1) で求めた範囲 $-1 < p < 3$ を満たすか確認します。

$1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$ より $-1 < 1 + \sqrt{2} < 3$ を満たします。

$1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$ より $-1 < 1 - \sqrt{2} < 3$ を満たします。

3. 最終的な答え

アイ: -1

ウ: 3

エ: 1

オ: 2

$p = 1 \pm \sqrt{2}$