10%の食塩水100gが入った容器から、$x$ gの食塩水を取り出し、同量の水を加えます。次に、その容器から$2x$ gの食塩水を取り出し、同量の水を加えます。その結果、食塩水の濃度が7.2%になったとき、最初に抜き取った食塩水の量$x$を求める問題です。

1. 問題の内容

10%の食塩水100gが入った容器から、$x$ gの食塩水を取り出し、同量の水を加えます。次に、その容器から$2x$ gの食塩水を取り出し、同量の水を加えます。その結果、食塩水の濃度が7.2%になったとき、最初に抜き取った食塩水の量$x$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、最初の操作で取り出した食塩水の量を$x$ (g)とします。

1回目の操作後、容器に残った食塩水の量は100gで、食塩の量は $100 \times 0.1 - x \times 0.1 = 10 - 0.1x$ (g) です。

濃度は $\frac{10 - 0.1x}{100}$ になります。

2回目の操作で取り出した食塩水の量は$2x$ (g)なので、取り出した食塩に含まれる食塩の量は $2x \times \frac{10 - 0.1x}{100} = \frac{20x - 0.2x^2}{100} = \frac{10x - 0.1x^2}{50}$ (g) です。

2回目の操作後の食塩水の量は100gで、食塩の量は $10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{50}$ (g) となります。

最終的な濃度は7.2%なので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{50}}{100} = 0.072$

両辺を100倍して整理すると、

$10 - 0.1x - \frac{10x - 0.1x^2}{50} = 7.2$

両辺を50倍して整理すると、

$500 - 5x - (10x - 0.1x^2) = 360$

$500 - 5x - 10x + 0.1x^2 = 360$

$0.1x^2 - 15x + 140 = 0$

両辺を10倍して整理すると、

$x^2 - 150x + 1400 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(x - 10)(x - 140) = 0$

$x = 10, 140$

$2x < 100$ より、$x < 50$ なので、$x = 10$ が解となります。

もし $x=140$とすると、最初の操作で取り出した量が100gを超えてしまうので、不適です。

3. 最終的な答え

10 g