2次方程式 $2x^2 - 7x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とし、$\alpha > \beta$ とする。 $\alpha$ と $\beta$ を求め、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ の値を求める。 さらに、$\alpha$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a + 8(b^2 + \frac{1}{b^2})$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 7x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とし、$\alpha > \beta$ とする。

$\alpha$ と $\beta$ を求め、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ の値を求める。

さらに、$\alpha$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a + 8(b^2 + \frac{1}{b^2})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式の解の公式より、

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$

$\alpha > \beta$ なので、

$\alpha = \frac{7 + \sqrt{41}}{4}$, $\beta = \frac{7 - \sqrt{41}}{4}$

ア=7, イウ=41, エ=4

(2) 解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = - \frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

オ=7, カ=2, キ=1, ク=2

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = (\frac{7}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{49}{4} - 1 = \frac{45}{4}$

ケコ=45, サ=4

(4) $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha \beta)^2} = \frac{\frac{45}{4}}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{45}{4}}{\frac{1}{4}} = 45$

シス=45

(5) $\sqrt{41}$ の近似値を考える。$6^2 = 36 < 41 < 49 = 7^2$ なので、$6 < \sqrt{41} < 7$。

したがって、$\alpha = \frac{7 + \sqrt{41}}{4}$ について、$\frac{7 + 6}{4} < \alpha < \frac{7 + 7}{4}$、すなわち $\frac{13}{4} < \alpha < \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$。

$3.25 < \alpha < 3.5$ なので、$\alpha$ の整数部分は $a = 3$。

小数部分は $b = \alpha - a = \frac{7 + \sqrt{41}}{4} - 3 = \frac{7 + \sqrt{41} - 12}{4} = \frac{\sqrt{41} - 5}{4}$

(6) $b^2 = (\frac{\sqrt{41} - 5}{4})^2 = \frac{41 - 10\sqrt{41} + 25}{16} = \frac{66 - 10\sqrt{41}}{16} = \frac{33 - 5\sqrt{41}}{8}$

$\frac{1}{b} = \frac{4}{\sqrt{41} - 5} = \frac{4(\sqrt{41} + 5)}{41 - 25} = \frac{4(\sqrt{41} + 5)}{16} = \frac{\sqrt{41} + 5}{4}$

$\frac{1}{b^2} = (\frac{\sqrt{41} + 5}{4})^2 = \frac{41 + 10\sqrt{41} + 25}{16} = \frac{66 + 10\sqrt{41}}{16} = \frac{33 + 5\sqrt{41}}{8}$

$b^2 + \frac{1}{b^2} = \frac{33 - 5\sqrt{41}}{8} + \frac{33 + 5\sqrt{41}}{8} = \frac{66}{8} = \frac{33}{4}$

(7) $a + 8(b^2 + \frac{1}{b^2}) = 3 + 8 \cdot \frac{33}{4} = 3 + 2 \cdot 33 = 3 + 66 = 69$

3. 最終的な答え

ア=7, イウ=41, エ=4, オ=7, カ=2, キ=1, ク=2, ケコ=45, サ=4, シス=45, セン=69