図形の表面積を求める問題です。図形は半球と円柱を組み合わせたような形をしています。半球の側面部分の表面積が $64\pi \text{ cm}^2$ であり、底面の円の半径が $8 \text{ cm}$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

図形の表面積を求める問題です。図形は半球と円柱を組み合わせたような形をしています。半球の側面部分の表面積が $64\pi \text{ cm}^2$ であり、底面の円の半径が $8 \text{ cm}$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

半球の側面の表面積は、半径 $r$ を用いて $2\pi r^2$ と表されます。問題文より、

$2\pi r^2 = 64\pi$

したがって、$r^2 = 32$ となります。しかし、問題文に示されている図では半径が8cmなので、半球の側面積ではなく、円柱の側面積が$64\pi$であると考えられます。

円柱の側面積は、円柱の高さ $h$、半径 $r$ を用いて $2\pi r h$ と表されます。ここで半径は $8 \text{ cm}$ と分かっています。よって、

$2\pi (8) h = 64\pi$

$16\pi h = 64\pi$

$h = \frac{64\pi}{16\pi} = 4 \text{ cm}$

したがって、円柱の高さは $4 \text{ cm}$ です。

求めたい図形の表面積は、半球の側面積と円柱の底面積、円柱の側面積の和です。半球の側面積は $2\pi r^2$ で、半径は$8 \text{ cm}$ なので、$2\pi (8^2) = 2\pi (64) = 128\pi$ です。円柱の底面積は $\pi r^2$ で、半径は$8 \text{ cm}$ なので $\pi (8^2) = 64\pi$ です。円柱の側面積は$64\pi$です。よって図形の表面積は、

$128\pi + 64\pi + 64\pi = 256\pi$

3. 最終的な答え

$256\pi \text{ cm}^2$