空間内の点 O(0,0,0), A(0,0,1), B(3,0,0), C(0,2,0) が与えられています。点 O から平面 ABC に垂線を下ろしたときの交点を H とします。$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ とおいて、$s$ と $t$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

空間内の点 O(0,0,0), A(0,0,1), B(3,0,0), C(0,2,0) が与えられています。点 O から平面 ABC に垂線を下ろしたときの交点を H とします。$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ とおいて、$s$ と $t$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算します。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (3, 0, 0) - (0, 0, 1) = (3, 0, -1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0, 2, 0) - (0, 0, 1) = (0, 2, -1)$

次に、$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ より、$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC}$ を計算します。

$\vec{OH} = (0, 0, 1) + s(3, 0, -1) + t(0, 2, -1) = (3s, 2t, 1 - s - t)$

点 H は平面 ABC 上にあるので、$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ より、$\vec{AH}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の線形結合で表されます。平面 ABC の方程式を求めます。平面 ABC は点 A(0,0,1) を通り、法線ベクトル $\vec{n}$ が $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ に垂直なベクトルです。$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ で計算できます。

$\vec{n} = (3, 0, -1) \times (0, 2, -1) = (0*(-1) - (-1)*2, (-1)*0 - 3*(-1), 3*2 - 0*0) = (2, 3, 6)$

したがって、平面 ABC の方程式は、$2x + 3y + 6(z - 1) = 0$ 、つまり $2x + 3y + 6z = 6$ です。

点 H(3s, 2t, 1 - s - t) は平面 ABC 上にあるので、この座標を平面の方程式に代入します。

$2(3s) + 3(2t) + 6(1 - s - t) = 6$

$6s + 6t + 6 - 6s - 6t = 6$

$6 = 6$

この式からは $s$ と $t$ の関係は求まりません。

$\vec{OH}$ は平面 ABC に垂直なので、$\vec{OH}$ は平面 ABC の法線ベクトル $\vec{n}=(2,3,6)$ に平行です。したがって、$\vec{OH} = k\vec{n}$ (k は実数) と表せます。

$(3s, 2t, 1 - s - t) = k(2, 3, 6) = (2k, 3k, 6k)$

このベクトル方程式から以下の連立方程式が得られます。

$3s = 2k$

$2t = 3k$

$1 - s - t = 6k$

最初の2式から、$s = \frac{2}{3}k$ と $t = \frac{3}{2}k$ が得られます。

これを3番目の式に代入すると、

$1 - \frac{2}{3}k - \frac{3}{2}k = 6k$

$1 = 6k + \frac{2}{3}k + \frac{3}{2}k = (\frac{36}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6})k = \frac{49}{6}k$

よって、$k = \frac{6}{49}$ となります。

したがって、$s = \frac{2}{3} * \frac{6}{49} = \frac{4}{49}$

$t = \frac{3}{2} * \frac{6}{49} = \frac{9}{49}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{4}{49}$

$t = \frac{9}{49}$