初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} + 2a_n - 2 = 0$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

代数学数列漸化式等比数列
2025/6/30

1. 問題の内容

初項 a1=1a_1 = 1 であり、漸化式 an+1+2an2=0a_{n+1} + 2a_n - 2 = 0 (n=1,2,3,n = 1, 2, 3, \dots) で定義される数列 {an}\{a_n\} の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形します。
an+1+2an=2a_{n+1} + 2a_n = 2
特性方程式を x+2=0x + 2 = 0 とおくと、x=2x = -2 となります。
したがって、
an+1α=2(anα)a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)
となる α\alpha を求めます。展開すると、
an+1=2an+3αa_{n+1} = -2a_n + 3\alpha
元の式 an+1=2an+2a_{n+1} = -2a_n + 2 と比較すると、3α=23\alpha = 2 より α=23\alpha = \frac{2}{3} となります。
したがって、漸化式は以下のように変形できます。
an+123=2(an23)a_{n+1} - \frac{2}{3} = -2(a_n - \frac{2}{3})
数列 {an23}\{a_n - \frac{2}{3}\} は、初項 a123=123=13a_1 - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}、公比 2-2 の等比数列です。
したがって、
an23=13(2)n1a_n - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}(-2)^{n-1}
an=23+13(2)n1a_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}(-2)^{n-1}
an=2+(2)n13a_n = \frac{2 + (-2)^{n-1}}{3}

3. 最終的な答え

an=2+(2)n13a_n = \frac{2 + (-2)^{n-1}}{3}

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