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与えられた2次方程式を解き、また、2次方程式が虚数解または実数解を持つ条件から、定数 $k$ の範囲を求める問題です。 (1) $x^2 - x + 3 = 0$ (2) $2x^2 - 5x + 1 = 0$ (3) $3x^2 + 2x + 1 = 0$ (4) $4x^2 - 12x + 9 = 0$ (5) 2次方程式 $2x^2 - 4x + k - 1 = 0$ が虚数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 (6) 2次方程式 $x^2 + (k-2)x + k + 1 = 0$ が実数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

代数学二次方程式判別式虚数解実数解解の公式
2025/6/30
はい、承知いたしました。OCRの結果に基づき、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式を解き、また、2次方程式が虚数解または実数解を持つ条件から、定数 kk の範囲を求める問題です。
(1) x2−x+3=0x^2 - x + 3 = 0
(2) 2x2−5x+1=02x^2 - 5x + 1 = 0
(3) 3x2+2x+1=03x^2 + 2x + 1 = 0
(4) 4x2−12x+9=04x^2 - 12x + 9 = 0
(5) 2次方程式 2x2−4x+k−1=02x^2 - 4x + k - 1 = 0 が虚数解をもつとき、定数 kk の値の範囲を求めよ。
(6) 2次方程式 x2+(k−2)x+k+1=0x^2 + (k-2)x + k + 1 = 0 が実数解をもつとき、定数 kk の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) から (4) までは、2次方程式の解の公式を利用して解を求めます。
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 の解は、x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} で求められます。
(5) と (6) では、判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac を利用します。
- D<0D < 0 のとき、2次方程式は虚数解を持つ。
- D≥0D \geq 0 のとき、2次方程式は実数解を持つ。
(1) x2−x+3=0x^2 - x + 3 = 0
a=1,b=−1,c=3a=1, b=-1, c=3 より、
x=1±(−1)2−4(1)(3)2(1)=1±1−122=1±−112=1±i112x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{11}}{2}
(2) 2x2−5x+1=02x^2 - 5x + 1 = 0
a=2,b=−5,c=1a=2, b=-5, c=1 より、
x=5±(−5)2−4(2)(1)2(2)=5±25−84=5±174x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}
(3) 3x2+2x+1=03x^2 + 2x + 1 = 0
a=3,b=2,c=1a=3, b=2, c=1 より、
x=−2±(2)2−4(3)(1)2(3)=−2±4−126=−2±−86=−2±2i26=−1±i23x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{-1 \pm i\sqrt{2}}{3}
(4) 4x2−12x+9=04x^2 - 12x + 9 = 0
a=4,b=−12,c=9a=4, b=-12, c=9 より、
x=12±(−12)2−4(4)(9)2(4)=12±144−1448=12±08=32x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(4)(9)}}{2(4)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8} = \frac{12 \pm 0}{8} = \frac{3}{2}
(5) 2x2−4x+k−1=02x^2 - 4x + k - 1 = 0 が虚数解を持つとき、判別式 D<0D < 0
D=(−4)2−4(2)(k−1)=16−8(k−1)=16−8k+8=24−8k<0D = (-4)^2 - 4(2)(k-1) = 16 - 8(k-1) = 16 - 8k + 8 = 24 - 8k < 0
8k>248k > 24
k>3k > 3
(6) x2+(k−2)x+k+1=0x^2 + (k-2)x + k + 1 = 0 が実数解を持つとき、判別式 D≥0D \geq 0
D=(k−2)2−4(1)(k+1)=k2−4k+4−4k−4=k2−8k≥0D = (k-2)^2 - 4(1)(k+1) = k^2 - 4k + 4 - 4k - 4 = k^2 - 8k \geq 0
k(k−8)≥0k(k - 8) \geq 0
k≤0k \leq 0 または k≥8k \geq 8

3. 最終的な答え

(1) x=1±i112x = \frac{1 \pm i\sqrt{11}}{2}
(2) x=5±174x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}
(3) x=−1±i23x = \frac{-1 \pm i\sqrt{2}}{3}
(4) x=32x = \frac{3}{2}
(5) k>3k > 3
(6) k≤0k \leq 0 または k≥8k \geq 8

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