(7) 連立方程式 $\begin{cases} x+y=1 \\ x^2 + y^2 = -2 \end{cases}$ を解く。 (8) 二次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha - \beta^2$ と $\beta - \alpha^2$ を解にもつ二次方程式を1つ作る。 (9) 二次方程式 $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ において、2解の差が4となるときの $k$ の値を求め、そのときの2次方程式の2解を求める。

1. 問題の内容

(7) 連立方程式 $\begin{cases} x+y=1 \\ x^2 + y^2 = -2 \end{cases}$ を解く。

(8) 二次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha - \beta^2$ と $\beta - \alpha^2$ を解にもつ二次方程式を1つ作る。

(9) 二次方程式 $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ において、2解の差が4となるときの $k$ の値を求め、そのときの2次方程式の2解を求める。

2. 解き方の手順

(7) 連立方程式を解く。

$x + y = 1$ より $y = 1 - x$

これを $x^2 + y^2 = -2$ に代入して、

$x^2 + (1-x)^2 = -2$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 = -2$

$2x^2 - 2x + 3 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20 < 0$ より、実数解は存在しない。したがって、解なし。

(8) $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とする。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 4$、$\alpha\beta = 1$。

$\alpha - \beta^2$ と $\beta - \alpha^2$ を解にもつ二次方程式を求める。

まず、解の和を求める。

$(\alpha - \beta^2) + (\beta - \alpha^2) = (\alpha + \beta) - (\alpha^2 + \beta^2)$

$= (\alpha + \beta) - ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta)$

$= 4 - (4^2 - 2(1))$

$= 4 - (16 - 2) = 4 - 14 = -10$

次に、解の積を求める。

$(\alpha - \beta^2)(\beta - \alpha^2) = \alpha\beta - \alpha^3 - \beta^3 + \alpha^2\beta^2$

$= \alpha\beta - (\alpha^3 + \beta^3) + (\alpha\beta)^2$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 4^3 - 3(1)(4) = 64 - 12 = 52$

$(\alpha - \beta^2)(\beta - \alpha^2) = 1 - 52 + 1^2 = -50$

よって、求める二次方程式は、

$x^2 - (-10)x + (-50) = 0$

$x^2 + 10x - 50 = 0$

(9) $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ の2解を $\gamma, \delta$ とする。$\gamma - \delta = 4$ とする。

解と係数の関係より、$\gamma + \delta = -2k$, $\gamma\delta = k+2$。

$(\gamma - \delta)^2 = (\gamma + \delta)^2 - 4\gamma\delta$

$4^2 = (-2k)^2 - 4(k+2)$

$16 = 4k^2 - 4k - 8$

$4k^2 - 4k - 24 = 0$

$k^2 - k - 6 = 0$

$(k-3)(k+2) = 0$

$k = 3$ または $k = -2$

$k=3$ のとき、$x^2 + 6x + 5 = 0$

$(x+1)(x+5) = 0$

$x = -1, -5$ (差は4)

$k=-2$ のとき、$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$ (差は4)

3. 最終的な答え

(7) 解なし

(8) $x^2 + 10x - 50 = 0$

(9)

$k=3$ のとき、解は $x = -1, -5$

$k=-2$ のとき、解は $x = 0, 4$