与えられた数列の和を求める問題です。数列は $4 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $4 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$ で表されます。

2. 解き方の手順

求める和を $S$ とします。

$S = 4 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$

$4S = 4^2 + 7 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^n$

$S - 4S = 4 + (7-4) \cdot 4 + (10-7) \cdot 4^2 + \dots + (3n+1 - (3n-2)) \cdot 4^{n-1} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S = 4 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + 3 \cdot 4^{n-1} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S = 4 + 3(4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}) - (3n+1) \cdot 4^n$

等比数列の和の公式を利用します。

$4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = \frac{4^n - 4}{3}$

$-3S = 4 + 3 \cdot \frac{4^n - 4}{3} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S = 4 + 4^n - 4 - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S = 4^n - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S = (1 - (3n+1)) \cdot 4^n$

$-3S = -3n \cdot 4^n$

$S = n \cdot 4^n$

3. 最終的な答え

$n \cdot 4^n$