$x, y$ が3つの不等式 $x+2y-8 \le 0$, $2x-y+4 \ge 0$, $3x-4y+6 \le 0$ を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$x, y$ が3つの不等式

$x+2y-8 \le 0$,

$2x-y+4 \ge 0$,

$3x-4y+6 \le 0$

を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$x+2y-8 \le 0$ より $y \le -\frac{1}{2}x + 4$

$2x-y+4 \ge 0$ より $y \le 2x+4$

$3x-4y+6 \le 0$ より $y \ge \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}$

次に、これらの不等式を満たす領域を図示します。不等式を直線としてグラフに描き、それぞれの不等式が満たす領域を斜線で示します。3つの不等式全てを満たす領域が、求める領域となります。

次に、目標とする関数 $k=x+y$ とおき、$y = -x + k$ と変形します。

この直線が、上で求めた領域と交わるように、$k$ の値を変化させます。$k$ が最大となるのは、$y = -x + k$ が領域の頂点を通るときです。同様に、$k$ が最小となるのも、$y = -x + k$ が領域の頂点を通るときです。

与えられた3つの直線の交点を求めます。

(1) $x+2y=8$ と $2x-y=-4$ の交点

$x+2y=8$

$4x-2y=-8$

足し合わせると $5x=0$ よって $x=0$

$y=4$

交点は $(0,4)$

(2) $x+2y=8$ と $3x-4y=-6$ の交点

$2x+4y=16$

$3x-4y=-6$

足し合わせると $5x=10$ よって $x=2$

$2+2y=8$ より $2y=6$ よって $y=3$

交点は $(2,3)$

(3) $2x-y=-4$ と $3x-4y=-6$ の交点

$8x-4y=-16$

$3x-4y=-6$

引き算すると $5x=-10$ よって $x=-2$

$2(-2)-y=-4$ より $-4-y=-4$ よって $y=0$

交点は $(-2,0)$

これらの交点 $(0,4)$, $(2,3)$, $(-2,0)$ が領域の頂点となる候補です。

それぞれの点で $x+y$ の値を計算します。

$(0,4)$ のとき $x+y = 0+4 = 4$

$(2,3)$ のとき $x+y = 2+3 = 5$

$(-2,0)$ のとき $x+y = -2+0 = -2$

したがって、$x+y$ の最大値は5、最小値は-2となります。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: -2