自然数の列を、1個, 2個, 4個, 8個, ..., $2^{n-1}$個, ... の群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の自然数を求めよ。 (2) 500は第何群の第何項か。 (3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求めよ。

1. 問題の内容

自然数の列を、1個, 2個, 4個, 8個, ..., $2^{n-1}$個, ... の群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の自然数を求めよ。

(2) 500は第何群の第何項か。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

第$n$群の最初の数は、第$n-1$群までの項数の和に1を加えたものである。第$k$群の項数は$2^{k-1}$であるから、第$n-1$群までの項数の和は

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2}$

これは初項1, 公比2, 項数$n-1$の等比数列の和なので、

$\frac{1 \cdot (2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ である。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

500が第$n$群に含まれるとすると、第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$であり、第$n+1$群の最初の数は$2^n$である。したがって、$2^{n-1} \le 500 < 2^n$を満たす$n$を求める。

$2^8 = 256$, $2^9 = 512$なので、$n = 9$と推測される。実際、$2^{9-1} = 2^8 = 256 \le 500 < 2^9 = 512$である。

したがって、500は第9群に含まれる。

第9群の最初の数は256であるから、500は第$500 - 256 + 1 = 245$項である。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$であり、第$n$群に含まれる項数は$2^{n-1}$である。したがって、第$n$群の最後の数は$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$である。

第$n$群の和は、初項$2^{n-1}$, 末項$2^n - 1$, 項数$2^{n-1}$の等差数列の和であるから、

$\frac{2^{n-1}(2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の自然数: $2^{n-1}$

(2) 500は第9群の第245項

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$