正の偶数の列 $2, 4, 6, \dots$ を、第$n$群が$n$個の数を含むように群に分ける。このとき、第12群の3番目の数は何か、また472が第何群の何番目の数であるかを求める。

1. 問題の内容

正の偶数の列 $2, 4, 6, \dots$ を、第$n$群が$n$個の数を含むように群に分ける。このとき、第12群の3番目の数は何か、また472が第何群の何番目の数であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、第$n$群が始まるまでに何個の偶数が並んでいるかを考える。

第1群には1個、第2群には2個、...、第$n-1$群には$n-1$個の偶数が並んでいるので、第$n$群の最初の数は、

$2 + 4 + 6 + ... + 2(n-1) + 2 = \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2\sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$

となる。これは、第$n-1$群の最後の数なので、第$n$群の最初の数は、$2 \times \frac{(n-1)n}{2}+2=n(n-1) + 2$である。

第12群の最初の数は、 $12(12-1) + 2 = 12 \times 11 + 2 = 132 + 2 = 134$である。

したがって、第12群の3番目の数は、$134, 136, 138$なので、138である。

次に、472が第何群の何番目の数かを考える。

第$n$群の最初の数が472以下となるような最大の$n$を求める。

$n(n-1) + 2 \leq 472$

$n(n-1) \leq 470$

$n^2 - n - 470 \leq 0$

$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-470)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+1880}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1881}}{2}$

$\sqrt{1881} \approx \sqrt{1849} = 43$ なので、$n \approx \frac{1 \pm 43}{2}$

$n > 0$なので、$n \approx \frac{1+43}{2} = 22$

$n=22$のとき、$n(n-1) + 2 = 22 \times 21 + 2 = 462 + 2 = 464$

$n=23$のとき、$n(n-1) + 2 = 23 \times 22 + 2 = 506 + 2 = 508$

したがって、472は第23群にある。

第22群の最後の数は $2 \times \frac{22(22-1)}{2} = 22 \times 21 = 462$なので、472は、464, 466, 468, 470, 472より、第23群の5番目の数である。

3. 最終的な答え

第12群の3番目の数は、138である。

472は第23群の5番目の数である。