正の偶数の列 $2, 4, 6, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。このとき、第12群の3番目の数は何か、また、472は第何群の何番目の数かを求める問題。

1. 問題の内容

正の偶数の列 $2, 4, 6, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。このとき、第12群の3番目の数は何か、また、472は第何群の何番目の数かを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、第$n$群までの項数の合計を求める。第$n$群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

である。

(1) 第12群の3番目の数を求める。

第11群までの項数の合計は、$\frac{11(11+1)}{2} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$ である。

したがって、第12群の最初の数は、全体の67番目の偶数であるから、 $2 \cdot 67 = 134$ である。

第12群の3番目の数は、134, 136, 138であるから、138となる。

(2) 472が第何群の何番目の数かを求める。

472は、全体の何番目の偶数かを調べる。 $472 = 2 \cdot 236$ であるから、236番目の数である。

第$n$群までの項数の合計が236を超える最小の$n$を求める。

$\frac{n(n+1)}{2} > 236$

$n(n+1) > 472$

$n^2 + n - 472 > 0$

$n=21$のとき、$21(21+1) = 21 \cdot 22 = 462 < 472$

$n=22$のとき、$22(22+1) = 22 \cdot 23 = 506 > 472$

したがって、472は第22群にある。

第21群までの項数の合計は、 $\frac{21(21+1)}{2} = \frac{21 \cdot 22}{2} = 231$ である。

472は236番目の数なので、第22群の $236 - 231 = 5$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

第12群の3番目の数は 138 である。

472は第22群の5番目の数である。