2x2行列 $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ に対応する1次変換を $f$ とする。次の直線について、$f$ による像を求める。 (1) $2x + 3y + 4 = 0$ (2) $2x + y + 6 = 0$ (3) $3x - 2y - 8 = 0$ (4) $x + y + 5 = 0$

1. 問題の内容

2x2行列 $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ に対応する1次変換を $f$ とする。次の直線について、$f$ による像を求める。

(1) $2x + 3y + 4 = 0$

(2) $2x + y + 6 = 0$

(3) $3x - 2y - 8 = 0$

(4) $x + y + 5 = 0$

2. 解き方の手順

1次変換 $f$ を表す行列を $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ とする。

直線上の点を $(x, y)$ とし、その像を $(x', y')$ とする。

このとき、$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が成り立つ。

つまり、

$x' = 5x + 2y$

$y' = -4x - y$

この連立方程式を $x$ と $y$ について解く。

$x' + 2y' = 5x + 2y + 2(-4x - y) = 5x + 2y - 8x - 2y = -3x$

$x = -\frac{1}{3}(x' + 2y')$

$y = -4x' - 5y'$

(1) $2x + 3y + 4 = 0$ に $x$ と $y$ の式を代入する。

$2(-\frac{1}{3}(x' + 2y')) + 3(-4x' - 5y') + 4 = 0$

$-\frac{2}{3}x' - \frac{4}{3}y' - 12x' - 15y' + 4 = 0$

両辺に 3 をかける。

$-2x' - 4y' - 36x' - 45y' + 12 = 0$

$-38x' - 49y' + 12 = 0$

$38x' + 49y' - 12 = 0$

(2) $2x + y + 6 = 0$ に $x$ と $y$ の式を代入する。

$2(-\frac{1}{3}(x' + 2y')) + (-4x' - 5y') + 6 = 0$

$-\frac{2}{3}x' - \frac{4}{3}y' - 4x' - 5y' + 6 = 0$

両辺に 3 をかける。

$-2x' - 4y' - 12x' - 15y' + 18 = 0$

$-14x' - 19y' + 18 = 0$

$14x' + 19y' - 18 = 0$

(3) $3x - 2y - 8 = 0$ に $x$ と $y$ の式を代入する。

$3(-\frac{1}{3}(x' + 2y')) - 2(-4x' - 5y') - 8 = 0$

$-(x' + 2y') + 8x' + 10y' - 8 = 0$

$-x' - 2y' + 8x' + 10y' - 8 = 0$

$7x' + 8y' - 8 = 0$

(4) $x + y + 5 = 0$ に $x$ と $y$ の式を代入する。

$(-\frac{1}{3}(x' + 2y')) + (-4x' - 5y') + 5 = 0$

$-\frac{1}{3}x' - \frac{2}{3}y' - 4x' - 5y' + 5 = 0$

両辺に 3 をかける。

$-x' - 2y' - 12x' - 15y' + 15 = 0$

$-13x' - 17y' + 15 = 0$

$13x' + 17y' - 15 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $38x + 49y - 12 = 0$

(2) $14x + 19y - 18 = 0$

(3) $7x + 8y - 8 = 0$

(4) $13x + 17y - 15 = 0$