$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する問題です。空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する問題です。空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

* $3\sqrt{2}$ が無理数でないと仮定すると、$3\sqrt{2}$ は有理数である。よって、「カ」には「有理数」が入ります。

* 有理数である $r$ を用いて、$3\sqrt{2} = r$ とおきます。

* $\sqrt{2}$ について解くと、$\sqrt{2} = \frac{r}{3}$ となります。よって、「キ」には $\frac{r}{3}$ が入ります。

* $r$ が有理数であるから、$\frac{r}{3}$ も有理数であり、$\sqrt{2}$ が有理数であることになります。これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。よって、「ク」には「有理数」が入ります。

* したがって、$3\sqrt{2}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

カ：① 有理数

キ：③ $\frac{r}{3}$

ク：① 有理数