2次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ の定義域 $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ の定義域 $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x - 4 = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -(x - 3)^2 + 9 - 4 = -(x - 3)^2 + 5$

したがって、

$y = -(x - 3)^2 + 5$

この式から、この放物線の頂点の座標は $(3, 5)$ であり、上に凸な放物線であることがわかります。

軸は $x = 3$ で、定義域 $-1 \le x \le 4$ に含まれています。

したがって、$x = 3$ のとき、最大値をとります。

$x = 3$ のとき、$y = -(3 - 3)^2 + 5 = 5$

次に、定義域の端点での $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 6(-1) - 4 = -1 - 6 - 4 = -11$

$x = 4$ のとき、$y = -(4)^2 + 6(4) - 4 = -16 + 24 - 4 = 4$

定義域の端点での $y$ の値と頂点での $y$ の値を比較すると、最小値は $x = -1$ のときの $y = -11$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値: $5$ ($x = 3$のとき)

最小値: $-11$ ($x = -1$のとき)