$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、以下の数が無理数であることを証明する。 (1) $2 - \sqrt{2}$ (2) $\sqrt{8}$

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、以下の数が無理数であることを証明する。

(1) $2 - \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{8}$

2. 解き方の手順

(1) $2 - \sqrt{2}$ が無理数であることの証明

背理法を用いる。$2 - \sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$2 - \sqrt{2} = r$ となる有理数 $r$ が存在する。

これを変形すると、

$\sqrt{2} = 2 - r$

$r$ が有理数なので、$2 - r$ も有理数である。

しかし、これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$2 - \sqrt{2}$ は無理数である。

(2) $\sqrt{8}$ が無理数であることの証明

背理法を用いる。$\sqrt{8}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$\sqrt{8} = r$ となる有理数 $r$ が存在する。

$\sqrt{8}$ は $2\sqrt{2}$ と変形できるので、

$2\sqrt{2} = r$

両辺を2で割ると

$\sqrt{2} = \frac{r}{2}$

$r$ が有理数なので、$\frac{r}{2}$ も有理数である。

しかし、これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$\sqrt{8}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) $2-\sqrt{2}$ は無理数である。

(2) $\sqrt{8}$ は無理数である。