式 $2x^2+5xy+2y^2+4x-y-6$ を因数分解してください。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題8と問題9を解きます。

**問題8**

1. 問題の内容

式 $2x^2+5xy+2y^2+4x-y-6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $2x^2+5xy+2y^2$ の部分を因数分解します。

$2x^2+5xy+2y^2 = (2x+y)(x+2y)$

したがって、与式は $(2x+y+a)(x+2y+b)$ の形に因数分解できると予想できます。展開すると、

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (4+a)x + (1+2a)y + ab$

与式 $2x^2+5xy+2y^2+4x-y-6$ と比較すると、

$4+a = 4$

$1+2a = -1$

$ab = -6$

1つ目の式から $a=0$。

2つ目の式から $2a = -2$ なので $a=-1$。

ここで矛盾が生じるため、$ax + by$ が $a, b$ が定数で表せるわけではないことがわかります。

そこで、与式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (5y+4)x + (2y^2-y-6)$

$2y^2-y-6$ を因数分解すると $(2y+3)(y-2)$なので

$2x^2 + (5y+4)x + (2y+3)(y-2)$

たすき掛けをすることで、

$2x^2 + (5y+4)x + (2y+3)(y-2) = (2x+y-2)(x+2y+3)$

3. 最終的な答え

$(2x+y-2)(x+2y+3)$

**問題9**

1. 問題の内容

循環小数 $0.124\dot{2}\dot{4}$ を分数で表してください。ここで、$\dot{2}\dot{4}$ は24が循環することを意味します。

2. 解き方の手順

$x = 0.1\dot{2}\dot{4}$ と置きます。

すると、$10x = 1.\dot{2}\dot{4}$

$1000x = 124.\dot{2}\dot{4}$

$1000x - 10x = 124.\dot{2}\dot{4} - 1.\dot{2}\dot{4}$

$990x = 123$

$x = \frac{123}{990}$

約分して、

$x = \frac{41}{330}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{330}$