与えられた関数 $y = \frac{x}{x-1}$ の逆関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x}{x-1}$ の逆関数を求めます。

2. 解き方の手順

逆関数を求めるには、$x$ と $y$ を入れ替えて、$y$ について解きます。

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$$x = \frac{y}{y-1}$$

次に、$y$ について解きます。

両辺に $y-1$ をかけます。

$$x(y-1) = y$$

分配法則を用いて展開します。

$$xy - x = y$$

$y$ を含む項を左辺に、含まない項を右辺に移動します。

$$xy - y = x$$

左辺を $y$ でくくります。

$$y(x-1) = x$$

両辺を $x-1$ で割ります。

$$y = \frac{x}{x-1}$$

3. 最終的な答え

逆関数は $y = \frac{x}{x-1}$ です。