生徒6人と先生2人が円卓に座る。 (1) 先生2人が向かい合う座り方は何通りあるか。 (2) 2人の先生の間に生徒が1人だけ座る座り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

生徒6人と先生2人が円卓に座る。

(1) 先生2人が向かい合う座り方は何通りあるか。

(2) 2人の先生の間に生徒が1人だけ座る座り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 先生2人が向かい合う場合

まず、先生Aを固定して座らせます。円卓なので、回転しても同じ座り方とみなすため、最初に誰かを固定します。

次に、先生Bは先生Aの向かい側に座ります。席数は8なので、向かい側の席は1つに決まります。先生Bの座り方も1通りです。

残りの6人の生徒は、残りの6席に自由に座ります。これは、6人の生徒の並び方なので、6!通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 2人の先生の間に生徒が1人だけ座る場合

まず、先生Aを固定して座らせます。

次に、先生Aの隣の席に生徒が座ります。生徒の選び方は6通りです。

先生Bは、選ばれた生徒の隣に座ります。先生Aから見て時計回りと反時計回りの2パターンあるので、2通りの座り方があります。

残りの5人の生徒は、残りの5席に自由に座ります。これは、5人の生徒の並び方なので、5!通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

したがって、先生2人の間に生徒が1人だけ座る座り方は、

$6 \times 2 \times 5! = 6 \times 2 \times 120 = 1440$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 1440通り